MAHASISWA JURUSAN MATEMATIKA

Selasa, 20 Oktober 2009

Pembuktian teorema pythagoras

Teorema pythagoras boleh dibilang adalah teorema paling terkenal di matematika, kalo gak salah kita sudah mempelajari theorema tersebut sejak SMP (cmiiw). Pada tahun 572 sebelum masehi Pythagoras berkata bahwa jumlah kuadrat kedua sisi siku-siku pada segitiga siku-siku sama dengan panjang kuadrat sisi miringnya. Konon 1000 tahun sebelum Pytagiras lahir bangsa babylonia telah menyadari hubungan antara sisi siku-siku dengan sisi miringnya pada segitiga siku-siku, tapi pythagoraslah yang pertamakali menyatakan hubungan tersebut dalam persamaan matematika.
Sebenarnya ada 79 cara untuk membuktikan teorema pytagoras. Tapi saya akan menggunakan cara pembuktian yang paling terkenal, pembuktian oleh astronom India Bhaskara (1114-1185).
Langkah pertama buat 4 buah segitiga siku-siku yang sama

Lalu susun menjadi bentuk dibawah ini

bujur sangkar dengan panjang sisi b+a

Perhatikan daerah diasir kuning, sebuah belah ketupat dengan panjang sisi C

maka kita tau bahwa luas belahketupat ditambah luas 4 segitiga siku-siku sama denagn luas bujur sangkar

$C^2+4 \frac{AB}{2} = (A+B)^2$

$C^2+2AB=A^2+2AB+B^2$

$C^2=A^2+B^2$

Viola, we got pythagoras theorem

Pusing dengan Rumus yang Panjang?

Ya ….. judul di atas memang sering dialami juga saya maupun teman-teman dan mungkin juga Anda. Belajar rumus excel kebanyakan memang tidak mudah. Yang paling sering kita gunakan adalah sum, max, min, average, dan if. Kalau anda disuruh membaca lagi aturan untuk menggunakan vlookup misalnya, mungkin masih perlu lagi waktu untuk mencernanya. Belum lagi keterbaatasan Ms Excel yang paling terkenal adalah bahwa Anda tidak dapat “menggabungkan” atau “menumpuk” rumus dalam satu sel lebih dari 7 secara ”berjenjang”untuk Ms Excel 2003 ke bawah. Misalnya, rumus berikut ini akan menghasilkan IF berikut akan menghasilkan error. (Walaupun hal ini tidak masalah buat Ms Excel 2007)
=IF(Sheet1!$A$4=1,11,IF(Sheet1!$A$4=2,22,IF(Sheet1!$A$4=3,33, IF(Sheet1!$A$4=4,44,IF(Sheet1!$A$4=5,55,IF(Sheet1!$A$4=4,44,
IF(Sheet1!$A$4=5,55,IF(Sheet1!$A$4=6,66,IF($A$4=7,77,FALSE))))))))
Aturan umum, jika Anda memiliki rumus dengan lebih dari 7 jenjang/tingkatan pernyataan, Anda harus menggunakan fungsi VBA. Selain itu jika rumusnya panjang sekali … (walaupun bisa di Excel 2007), tapi sangat tidak praktis jika kita menelusuri dinama letak salahnya rumus.
Jika Anda tidak ingin menggunakan VBA, maka untuk mengatasi batasan ini dapat kita gunakan define name untuk merujuk ke bagian dari rumus. Karena rumus terdefinisi (selnya diberi nama dengan define name) akan dievaluasi secara terpisah, maka Anda dapat membuat satu atau lebih rumus merupakan bagian dari rumus besar, dan menggabungkan ini menjadi rumus ”utama”.
Misal kita akan membuat rumus berjenjang dengan IF:
IF A4 = 1 Then 11
Else If   A4 = 2 Then 22
Else If   A4 = 3 Then 33
Else If   A4 = 4 Then 44
…
Else If   A4 = 13 Then 130 Else “Tdk Ketemu”
dan seterusnya. Tentu saja, kalau mau praktis, kita dapat menggunakan fungsi VLOOKUP (wah… belajar lagi deh), akan tetapi untuk menggambarkan cara kerja fungsi berjenjang tersebut di atas. Pertama kita membuat rumus yang diberinama SatuSampaiEnam, dengan rumus sebagai berikut:
=IF(Sheet1!$A$4=1,11,IF(Sheet1!$A$4=2,22,IF(Sheet1!$A$4=3,33,
IF(Sheet1!$A$4=4,44,IF(Sheet1!$A$4=5,55,IF(Sheet1!$A$4=4,44,
IF(Sheet1!$A$4=5,55,IF(Sheet1!$A$4=6,66,FALSE))))))))
Kemudian kita buat lagi rumus dengan nama TujuhSampaiTigaBelas, dengan rumus sbb:
=IF(Sheet1!$A$4=7,77,IF(Sheet1!$A$4=8,88,IF(Sheet1!$A$4=9,99,
IF(Sheet1!$A$4=10,100,IF(Sheet1!$A$4=11,110,IF(Sheet1!$A$4=12,120,
IF(Sheet1!$A$4=13,130,”tidak ketemu”)))))))
Yang terakhir di sel yang kita tuju kita masukkan rumus “utama” sebagai berikut:
=IF(SatuSampaiEnam,SatuSampaiEnam,TujuhSampaiTigaBelas)
Langkah-langkah di atas akan mengatasi keterbatasan fungsi berjenjang, karena tidak ada fungsi yang melebihi batasan fungsi berjenjang.
Anda dapat menggunakan teknik ini jika mengalami permasalahan yang serupa

Formula Array

Formula Array merupakan tool yang sangat berguna dari Excel. Sebuah formula array adalah formula yang bekerja dengan array, atau deret data. Ada dua kelompok formulas array: pertama yang berhubungan dengan array atau deret data dan menjumlahkan, biasanya dengan menggunakan SUM, AVERAGE, atau COUNT, dan menghasilkan nilai tunggal dalam sebuah sell. Hasil dari formula array adalah nilai tunggal. Yang kedua adalah formula array yang menghasilkan dua sel atau lebih. formula array jenis ini akan menghasilkan nilai array.

Formula Array dengan Hasil Tunggal

Sebagai contoh, dalam bentuk sederhananya, formula =ROW(A1:A10) menghasilkan angaka 1, yang merupakan nomor baris sel pertama dalam range A1:A10. Akan tetapi, jika formula tsb dimasukkan sebagai formula array, maka akan menghasilkan sederetan angka, yang masing-masing merupakan nomor baris dari range A1:A10, yaitu {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. (Dalam notasi standar, array ditulis dalam kurung kurawal { }.) Pada saat menggunakan formula array, maka anda biasanya menggunakan fungsi-fungsi seperti SUM atau COUNT untuk menjumlahkan array menjadi angka tunggal. Misalnya kita menggunakan formula =SUM(ROW(A1:A10)) yang dimasukkan secara normal, maka hasilnya adalah 1. Hal ini disebabkan bahwa dalam moda normal, ROW(A1:A10) menghasilkan angka tunggal, 1, dan oleh karena itu hasil SUM hanya menjumlahkan satu angka saja. Akan tetapi, jika formula ini dimasukkan sebagai formula array, maka ROW(A1:A10) akan menghasilkan deret nomor baris dan kemudian menjumlahkannya dengan SUM, shg menghasilkanf 55 ( = 1 + 2 + 3 + … + 10).

Membuat/memasukkan FORMULA ARRAY: untuk memasukkan formula sebagai formula array, maka ketikan formula dalam sel dan kemudian tekan CTRL SHIFT and ENTER bersama-sama bukan hanya ENTER. Anda dapat melakukan hal ini secara langsung atau dengan cara meng-edit (tekan F2) formula yang telah dimasukkan. Jika anda melakukan dengan benar, maka Excel akan menampilkan formula dalam kurung kurawal { }. Jangan mengetik sendiri kurung kurawal ini — Excel akan otomatis menampilkannya. Jika anda mengabaikan langkah memasukan formula denganCTRL SHIFT ENTER, maka formula dapat menghasilkan error #VALUE atau menghasilkan perhitungan yang salah.

Membuat Formula Array dengan menggunakan Array Data

Fungsi IF function dapat dipergunakan dalam formula array untukk menguji hasil uji beberapa sel yang dilakukan satu kali. Sebagai contoh, anda menghitung rata-rata(average) nilai dalam range A1:A5 tetapi tidak memasukkan angka yang lebih kecil dan sama dengan nol. Maka rumus yang anda gunakan adalah AVERAGE yaitu:

=AVERAGE(IF(A1:A5>0,A1:A5,FALSE))

Formula akan bekerja dengan menguji apakah masing-masing sel dalam A1:A5 > 0. This returns an array of Boolean values such as {TRUE, TRUE, FALSE, FALSE, TRUE}.

Formulas Array umum digunakan dalam menghitung atau menjumlahkan sel dengan menggunakan kriteria ganda – beberapa kriteria:

.

Misalnya tabel di atas. Untuk menghitung jumlah mesin Fax yang dijual Taufik, maka anda dapat menggunakan formula array berikut:

=SUM((A2:A10=”Fax”)*(B2:B10=”Taufik”)*(C2:C10))

Ingat selalu menekan CTRL-SHIFT-ENTER ….. bukan hanya ENTER saja.
Logical Operations With Array Formulas
In addition to the logical AND operation using multiplication shown above, other logical operations can be performed arithmetically.

Rumus Array (CSE) dalam Excel

Rumus Array berbeda dengan rumus biasa yang kita masukkan dalam excel. untuk memasukkan rumus ini kita perlu dua hal berikut
1. Pada saat memasukkan rumus untuk array, maka pertama pilih range (ingat range bukan sel) yang akan diberi rumus, kemudian masukkan rumusnya, setelah selesai tekan Ctrl, Shift dan Enter setaca bersamaan (jangan hanya tekan Enter saja)
2. Pada saat kita memasukkan rumus array, maka akan muncul dua kurung kurawal seperti pada contoh di bawah ini

{=Rumus Yang Kita Masukkan}

Dan Yang Perlu Diingat ::::: Jangan memasukkan kurung kurawal sendiri dengan mengetikkannya, Excel akan otomatis membuat kurung tersebut dengan kita menekan CSE (Ctrl, Shift dan Enter)

Persamaan Pythagoras

Yang dimaksud persamaan Pythagoras adalah

$sin^2(\theta)+Cos^2(\theta)=1$

Saya yakin pembaca sudah familiar dengan persamaan tersebut. Pada umumnya perssaman tersebut dibuktikan dengan cara langsung menurut definisi.

Kita tahu teorema pythagoras mengatakan $x^2+y^2=r^2$ dan $Sin (\theta)=y/r$ , $Cos(\theta)=x/r$ diperoleh

$Sin^{2}(\theta)+Cos^{2}(\theta)=\frac{y^{2}}{r^{2}}+\frac{x^{2}}{r^{2}}=\frac{y^{2}+x^{2}}{r^{r}}=\frac{r^{2}}{r{}^{2}}=1$

Nah sekarang saya akan membuktikan dengan cara lain

Ambil fungsi $f(x)=Sin^2(x)+Cos^2(x)$ kita turunkan, diperoleh

$f'(x)=2Sin(x)Cos(x)-2Cos(x)Sin(x)=0$ . Jadi turunan $f(x)$ adalah nol. Artinya apa? Artinya $f(x)$ merupakan suatu kontanta $f(x)=C$ untuk suatu $C$ bilangan real (ingat!! konstanta diturunkan hasilnya nol).

Sekarang tinggal kita cari berapa nilai $C$ , masukan saja nol, dengan mudah kita tahu $f(0)=1$

Nah..akhirnya kita dapet dech persamaan pythagoras

$f(x)=Sin^2(x)+Cos^2(x)=1$

Update: Tadi barusan browsing browsing di internet persamaan diatas disebut identitas Pythagoras (pythagoras identity) tapi di buku Kalkukus dan geometri Analitis, Edwin J Purccel, edidi terjemahan penerbit Erlangga, persamann diatas disebut persamaan Pythagoras, Mana yang benar? waduh saya juga gak tau

Asal usul rumus abc (cara lain)

Yang saya maksud dengan rumus abc adalah

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2-4ac}}}{2a}$

Yaitu rumus untuk mencari persamaan kuadrat

$0=ax^{2}+bx+c$

Kenapa saya kasih judul ” asal usul rumus abc (cara lain)” karena Al Jupri pernah menulis asal-asal rumus abc. Nah saya akan menulis hal yang sama tapi dengan cara / metode yang berbeda kalo Al Jupri menggunakan cara menurunkan persamaan kudrat untuk mendapat rumus abc, kalo saya akan menggunakan integral hehe..